Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，，D是AC中點(diǎn)
（Ⅰ）求三棱錐B₁-BDC₁的體積；
（Ⅱ） 證明：AB₁⊥BC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由AB=2，，D是AC中點(diǎn)，能求出三棱錐D-B₁BC₁的高，由此利用等積法能求出三棱錐B₁-BDC₁的體積．
（2）分別取BB₁、B₁C₁、AB、BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，O，G，連接EF，OF，OE，GF，GO，由EF=，OE=，OF=，得到∠OEF是異面直線AB₁和BC₁所成的角或所成角的補(bǔ)角．由此利用余弦定理能證明AB₁⊥BC₁．
解答：（1）解：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AB=2，，D是AC中點(diǎn)，
∴==，
三棱錐D-B₁BC₁的高h(yuǎn)==，
∴三棱錐B₁-BDC₁的體積
===．…（6分）
（2）證明：分別取BB₁、B₁C₁、AB、BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，O，G，
連接EF，OF，OE，GF，GO，
則EF=，OE=，OF==，
∴∠OEF是異面直線AB₁和BC₁所成的角或所成角的補(bǔ)角．
∵cos∠OEF==0，
∴∠OEF=90°，
∴AB₁⊥BC₁．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意等積法和余弦定理的合理運(yùn)用．