【題目】已知，是函數(shù)的兩個零點，其中常數(shù)，，設．

（Ⅰ）用，表示，；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：對任意的．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析，（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題（Ⅰ）由題意得：，．因為，所以．.對抽象的求和符號具體化處理,是解答本題的關鍵.（Ⅱ）而

，（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明有關自然數(shù)的命題. （1）當時，由（Ⅰ）問知是整數(shù)，結(jié)論成立．（2）假設當（）時結(jié)論成立，即都是整數(shù)，由（Ⅱ）問知．即時，結(jié)論也成立．

解：（Ⅰ）由，．

因為，所以．

． 3分

（Ⅱ）由，得

．

即，同理，．

所以．

所以． 8分

（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明．

（1）當時，由（Ⅰ）問知是整數(shù)，結(jié)論成立．

（2）假設當（）時結(jié)論成立，即都是整數(shù)．

由，得．

即．

所以，．

所以．

即．

由都是整數(shù)，且，，所以也是整數(shù)．

即時，結(jié)論也成立．

由（1）（2）可知，對于一切，的值都是整數(shù)． 13分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】春節(jié)期間，受煙花爆竹集中燃放影響，我國多數(shù)城市空氣中濃度快速上升，特別是在大氣擴散條件不利的情況下，空氣質(zhì)量在短時間內(nèi)會迅速惡化年除夕18時和初一2時，國家環(huán)保部門對8個城市空氣中濃度監(jiān)測的數(shù)據(jù)如表單位：微克立方米．

除夕18時濃度

初一2時濃度

北京

75

647

天津

66

400

石家莊

89

375

廊坊

102

399

太原

46

115

上海

16

17

南京

35

44

杭州

131

39

Ⅰ求這8個城市除夕18時空氣中濃度的平均值；

Ⅱ環(huán)保部門發(fā)現(xiàn)：除夕18時到初一2時空氣中濃度上升不超過100的城市都是“禁止燃放煙花爆竹“的城市，濃度上升超過100的城市都未禁止燃放煙花爆竹從以上8個城市中隨機選取3個城市組織專家進行調(diào)研，記選到“禁止燃放煙花爆竹”的城市個數(shù)為X，求隨機變量y的分布列和數(shù)學期望；

Ⅲ記2017年除夕18時和初一2時以上8個城市空氣中濃度的方差分別為和，比較和的大小關系只需寫出結(jié)果．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為調(diào)查學生喜歡“應用統(tǒng)計”課程是否與性別有關，隨機抽取了選修課程的55名學生，得到數(shù)據(jù)如下表：

喜歡統(tǒng)計課程

不喜歡統(tǒng)計課程

男生

20

5

女生

10

20

（1）判斷是否有99．5％的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關？

（2）用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學生中抽取6名學生作進一步調(diào)查，將這6名學生作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1個男生和1個女生的概率．

臨界值參考:

0．10

0．05

0．25

0．010

0．005

0．001

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線焦點為，為拋物線上在第一象限內(nèi)一點，為原點，面積為.

（1）求拋物線方程；

（2）過點作兩條直線分別交拋物線于異于點的兩點，，且兩直線斜率之和為，

（i）若為常數(shù)，求證直線過定點；

（ii）當改變時，求（i）中距離最近的點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”．北京某綜合大學計劃在一年級開設冰球課程，為了解學生對冰球運動的興趣，隨機從該校一年級學生中抽取了100人進行調(diào)查，其中女生中對冰球運動有興趣的占，而男生有10人表示對冰球運動沒有興趣額．

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”？

有興趣

沒興趣

合計

男

55

女

合計

（2）已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學系的學生，其中3名對冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至少有2人對冰球有興趣的概率．

附表：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB= ,SA=3,SB=5,,,.

(1)求證:AB平面SAD；

(2)求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值；

(3)點E,F分別為線段BC,SB上的一點,若平面AEF//平面SCD,求三棱錐B-AEF的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從四所高校中選2所.

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率；

（Ⅱ）若已知甲同學特別喜歡高校，他必選校，另在三校中再隨機選1所；而同學乙和丙對四所高校沒有偏愛，因此他們每人在四所高校中隨機選2所.

（�。┣蠹淄瑢W選高校且乙、丙都未選高校的概率；

（ⅱ）記為甲、乙、丙三名同學中選校的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，已知圓與直線相切，點A為圓上一動點，軸于點N，且動點滿足，設動點M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設P，Q是曲線C上兩動點，線段的中點為T，，的斜率分別為，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,四邊形ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,四邊形ABEF為平行四邊形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,平面ABEF⊥平面ABCD.

(1)求證:AE⊥平面ABCD;

(2)求平面ABEF與平面FCD所成銳二面角的余弦值.

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