Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，向量 =（sinA，b+c），=（a-c，sinC-sinB），滿足|+|=|-|．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設(shè)=（sin（C+），），=（2k，cos2A） （k＞1），•有最大值為3，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由條件|可得，，代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根據(jù)正弦定理，可化為a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，結(jié)合余弦定理a²+c²-b²=2acosB，代入可求
II先求）=2ksin（C+）+cos2A=2ksin（C+B）+cos2A
=2ksinA+cos²A-=-sin²A+2ksinA+=-（sinA-k）²+k²+（k＞1）．
結(jié)合0＜A＜，及二次函數(shù)的知識(shí)求解，
解答：解：（Ⅰ）由條件，兩邊平方可得，
=（sinA，b+c），=（a-c，sinC-sinB），代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根據(jù)正弦定理，可化為a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，
即a²+c²-b²=ac，又由余弦定理a²+c²-b²=2acosB，所以cosB=，B=60°．
（Ⅱ）=（sin（C+），），=（2k，cos2A）（k＞1），
=2ksin（C+）+cos2A=2ksin（C+B）+cos2A
=2ksinA+cos²A-=-sin²A+2ksinA+=-（sinA-k）²+k²+（k＞1）．
而0＜A＜，sinA∈（0，1]，故當(dāng)sin=1時(shí)，m•n取最大值為2k-=3，得k=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量數(shù)量積極的坐標(biāo)表示，余弦定理解答三角形，及含參數(shù)的二次函數(shù)的最值的求解，屬于知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔試題．