Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x﹣1）+ （a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線4x﹣3y﹣2=0相切，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=ln（x﹣1）+ ，

則f′（x）= ，

∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，

∴ 在x∈（1，4）上恒成立．

即a≥ 在x∈（1，4）上恒成立．

令g（x）= ，則g′（x）= ．

當(dāng)x∈（1，3）時，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（3，4）時，g′（x）＜0．

∴g（x）在（1，3）上為增函數(shù)，在（3，4）上為減函數(shù)，

∴g（x）max=g（3）=﹣8．

則a≥﹣8；

（2）解：設(shè)切點坐標(biāo)為（x0，y0），則f′（x0）= ，

則 ，①

f（x0）= ，②

聯(lián)立①，②解得：x0=2，a=3

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意可得f′（x）≥對任意x∈（1，4）恒成立，分離參數(shù)a，可得a≥ ，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）= 在（1，4）上的最大值得答案；（2）設(shè)出切點坐標(biāo)，求出函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，再由兩函數(shù)在切點處的函數(shù)值相等求得a的值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．