【題目】已知圓，直線.

（1）求直線所過定點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求直線被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)直線的方程及最短弦長(zhǎng)；

（3）已知點(diǎn)M(-3,4)，在直線MC上(C為圓心)，存在定點(diǎn)N(異于點(diǎn)M)，滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)， 試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù).

【答案】（1）A（1，3）；（2）直線方程為，最短弦長(zhǎng)為；（3）在直線MC上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)．

【解析】

（1）利用直線系方程的特征，直接求解直線過定點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)AC⊥時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短，由題知C（0，4），，求出AC的斜率，利用點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解即可；
（3）由題知，直線MC的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)N（，4）滿足題意，則設(shè)，，得，且，求出，然后求解比值.

解：（1）依題意得，，
令且，得，

∴直線過定點(diǎn)A（1，3）；
（2）當(dāng)AC⊥時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短，由題知C（0，4），，
，得，

∴由得，

此時(shí)直線方程為，
∴圓心到直線的距離為，
∴最短弦長(zhǎng)為；
（3）由題知，直線MC的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)N（，4）滿足題意，
則設(shè)，，得，且，
，
，
整理得，，
∵上式對(duì)任意恒成立，
且，
解得 或（舍去，與M重合），
綜上可知，在直線MC上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為達(dá)到節(jié)水節(jié)電的目的，某家庭記錄了20天的日用電量xi（單位：度）的頻數(shù)分布表和這20天相應(yīng)的日用水量yi（單位：m3）的頻率分布直方圖如下：

日用電量xi

[0，2）

[2，4）

[4，6）

[6，8）

[8，10）

頻數(shù)（天）

2

5

7

3

3

（1）假設(shè)水費(fèi)為2.5元/m3，電費(fèi)為0.6元/度，用以上數(shù)據(jù)估計(jì)該家庭日用電量的平均值和日用水量的平均值，并據(jù)此估計(jì)該家庭一個(gè)月的水費(fèi)和電費(fèi)一共是多少？（一個(gè)月按30天算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）；

（2）假設(shè)該家庭的日用水量y和日用電量x可用線性回歸模型來擬合，請(qǐng)利用（1）中的計(jì)算數(shù)據(jù)及所給的參考數(shù)據(jù)和公式，建立y與x的回歸方程，預(yù)測(cè)若該家庭日用電量為20度時(shí)的日用水量是多少m3？（回歸方程的系數(shù)小數(shù)點(diǎn)后保留2位小數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：xiyi＝65，612

參考公式：回歸方程x中斜率和截距的公式分別為：

，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，且，交于點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若為的中點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為，且點(diǎn)在直線上．

（1）求的值及直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）圓的極坐標(biāo)方程為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)為弘揚(yáng)優(yōu)良傳統(tǒng)，展示80年來的辦學(xué)成果，特舉辦“建校80周年教育成果展示月”活動(dòng)。現(xiàn)在需要招募活動(dòng)開幕式的志愿者，在眾多候選人中選取100名志愿者，為了在志愿者中選拔出節(jié)目主持人，現(xiàn)按身高分組，得到的頻率分布表如圖所示.

（1）請(qǐng)補(bǔ)充頻率分布表中空白位置相應(yīng)數(shù)據(jù)，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖；

（2）為選拔出主持人，決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺(tái)，求第3、4、5組每組各抽取多少人？

（3）在（2）的前提下，主持人會(huì)在上臺(tái)的6人中隨機(jī)抽取2人表演詩(shī)歌朗誦，求第3組至少有一人被抽取的概率？

參考公式：

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到的圖象，則滿足（ ）

A.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上為增函數(shù)

B.函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C.圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在上的最小值為1

D.最小正周期為，在有兩個(gè)根

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓: 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且過點(diǎn).過點(diǎn)的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)， 為橢圓的左頂點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列同時(shí)滿足：①對(duì)于任意的正整數(shù)， 恒成立；②對(duì)于給定的正整數(shù)， 對(duì)于任意的正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.

（1）已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知數(shù)列是“數(shù)列”，且存在整數(shù)，使得， ， ， 成等差數(shù)列，證明： 是等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市公交公司為了鼓勵(lì)廣大市民綠色出行,計(jì)劃在某個(gè)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站,為了研究車輛發(fā)車的間隔時(shí)間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系,經(jīng)過抽樣調(diào)查五個(gè)不同時(shí)段的情形,統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù):

間隔時(shí)間(分鐘)

8

10

12

14

16

等候人數(shù)(人)

16

19

23

26

29

調(diào)查小組先從這5組數(shù)據(jù)中選取其中的4組數(shù)據(jù)求得線性回歸方程,再用剩下的1組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn),檢驗(yàn)方法如下:先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù),再求與實(shí)際等候人數(shù)的差,若差值的絕對(duì)值不超過1,則稱所求的回歸方程是“理想回歸方程”.

(1)若選取的是前4組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程,并判斷所求方程是否是“理想回歸方程”;

(2)為了使等候的乘客不超過38人,試用所求方程估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)為多少分鐘?

參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式:

,.

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