【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(b﹣1)x+1(a,b∈R,a>0).
(1)若f(1)=0,且對任意x∈R,都有f(2﹣x)=f(2+x),求f(x)的解析式;
(2)已知x1 , x2為函數(shù)f(x)的兩個零點,且x2﹣x1=2,當x∈(x1 , x2)時,g(x)=﹣f(x)+2(x2﹣x)的最大值為,當a≥2時,求h(a)的最小值.
【答案】
(1)解:由f(2﹣x)=f(2+x),得函數(shù)f(x)關(guān)于x=2對稱,則﹣ =2,
又a+b﹣1+1=0,
解得a= ,b=﹣ ,
∴f(x)= x2﹣ x+1
(2)解:設(shè)f(x)=a(x﹣x1)(x﹣x2),
g(x)=﹣a(x﹣x1)(x﹣x2)+2(x2﹣x)=﹣a(x﹣x2)(x﹣x1+ )=a(x2﹣x)(x﹣x1+ );
∵x∈(x1,x2),a≥2;
∴x2﹣x>0,x﹣x1+ >0;
∵ ﹣ ﹣x2═ ﹣ = ﹣ =1﹣ <0,
∴ ﹣ <x2,
﹣ ﹣x1= ﹣ =1﹣ >1﹣ = >0,
∴ ﹣ >x1,
∴x= ﹣ ∈(x1,x2).
∴g(x)≤a( )2=a+ +2,
當x= ﹣ = 時取“=”;
∴h(a)=a+ +2,a≥2;
a≥2時,h′(x)=1﹣ >0;
∴h(a)在[2,+∞)上單調(diào)遞增;
∴h(2)= 是h(a)的最小值
【解析】(1)由f(2﹣x)=f(2+x)得函數(shù)的對稱軸為x=2,結(jié)合一元二次函數(shù)的對稱性進行求解即可,求f(x);(2)求出g(x)=a(x2﹣x)(x﹣x1+ ),根據(jù)基本不等式求出g(x)≤a+ +2,利用函數(shù)的單調(diào)性求出答案.
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【題目】下列說法中不正確的序號為_______.
①若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則實數(shù)的取值范圍是;
②函數(shù)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);
③已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域是;
④若函數(shù)在上有最小值-4,(,為非零常數(shù)),則函數(shù)在上有最大值6.
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【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=-1.其中>0且≠1.
(1)求f(2)+f(-2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)解關(guān)于x的不等式-1<f(x-1)<4.
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【題目】如圖是一個幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,△PDC, △PBC, △PAB, △PDA為全等的等邊三角形,E、F分別為PA、PD的中點,在此幾何體中,下列結(jié)論中錯誤的為 ( )
A. 平面BCD⊥平面PAD B. 直線BE與直線AF是異面直線
C. 直線BE與直線CF共面 D. 面PAD與面PBC的交線與BC平行
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【題目】已知命題p:對數(shù)有意義;命題q:實數(shù)t滿足不等式.
(Ⅰ)若命題p為真,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若命題p是命題q的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】湖南省某自來水公司每個月(記為一個收費周期)對用戶收一次水費,收費標準如下:當每戶用水量不超過30噸時,按每噸2元收。划斣撚脩粲盟砍^30噸但不超過50噸時,超出部分按每噸3元收;當該用戶用水量超過50噸時,超出部分按每噸4元收取。
(1)記某用戶在一個收費周期的用水量為噸,所繳水費為元,寫出關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)在某一個收費周期內(nèi),若甲、乙兩用戶所繳水費的和為214元,且甲、乙兩用戶用水量之比為3:2,試求出甲、乙兩用戶在該收費周期內(nèi)各自的用水量.
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【題目】已知函數(shù).
當時,試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并證明;
若不等式在上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】一網(wǎng)站營銷部為統(tǒng)計某市網(wǎng)友2017年12月12日在某網(wǎng)店的網(wǎng)購情況,隨機抽查了該市60名網(wǎng)友在該網(wǎng)店的網(wǎng)購金額情況,如下表:
若將當日網(wǎng)購金額不小于2千元的網(wǎng)友稱為“網(wǎng)購達人”,網(wǎng)購金額小于2千元的網(wǎng)友稱為“網(wǎng)購探者”.已知“網(wǎng)購達人”與“網(wǎng)購探者”人數(shù)的比例為2:3.
(1)確定的值,并補全頻率分布直方圖;
(2)試根據(jù)頻率分布直方圖估算這60名網(wǎng)友當日在該網(wǎng)店網(wǎng)購金額的平均數(shù)和中位數(shù);若平均數(shù)和中位數(shù)至少有一個不低于2千元,則該網(wǎng)店當日被評為“皇冠店”,試判斷該網(wǎng)店當日能否被評為“皇冠店”.
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