Question

（2011•嘉定區(qū)三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函數f（x）=a^x+k•b^x．
（1）如果實數a、b滿足a＞1，ab=1，試判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）設a＞1＞b＞0，k≤0，判斷函數f（x）在R上的單調性并加以證明；
（3）若a=2，b=

1

2

，且k＞0，問函數f（x）的圖象是不是軸對稱圖形？如果是，求出函數f（x）圖象的對稱軸；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，將b=

1

a

代入函數表達式，得f（x）=a^x+k•a^-x，再利用奇函數和偶函數的定義，用比較系數的方法，得出函數奇偶性的兩種不同情況；
（2）因為a＞1，0＜b＜1，根據指數函數單調性的定理，可得函數y=a^x是增函數，y=b^x減函數，再根據函數單調性的運算法則，得出函數f（x）=a^x+k•b^xR上的是增函數，最后用函數單調性的定義加以證明；
（3）根據函數f（x）=2^x+k•2^-x的圖象是軸對稱圖形且對稱軸是直線x=m，則函數f（x+m）是偶函數，即得到即對任意實數x，f（m-x）=f（m+x），代入表達式，采用比較系數法，可得2^m-k•2^-m=0，最終求出m=

1

2

log2k．

解答：解：（1）由已知，b=

1

a

，于是f（x）=a^x+k•a^-x，則f（-x）=a^-x+k•a^x，…（1分）
若f（x）是偶函數，則f（x）=f（-x），即a^x+k•a^-x=a^-x+k•a^x，
所以（k-1）（a^x-a^-x）=0對任意實數x恒成立，所以k=1．…（3分）
若f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x），即a^-x+k•a^x=-（a^x+k•a^-x），
所以（k+1）（a^x+a^-x）=0對任意實數x恒成立，所以k=-1．…（5分）
綜上，當k=1時，f（x）是偶函數；
當k=-1時，f（x）奇函數，
當k≠±1，f（x）既不是奇函數也不是偶函數．…（6分）
（2）因為a＞1，0＜b＜1，所以函數y=a^x是增函數，y=b^x減函數，
由k≤0知，y=a^x+k•b^x是增函數，所以函數f（x）在R是增函數．…（8分）
證明如下：
設x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=ax2+k•bx2-ax1-k•bx1=(ax2-ax1)+k(bx2-bx1)
因為a＞1，0＜b＜1，x₁＜x₂，k≤0，
所以ax2-ax1＞0，k(bx2-bx1)≥0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以函數f（x）在R是增函數．…（11分）
（3）f（x）=2^x+k•2^-x，若函數f（x）的圖象是軸對稱圖形，
且對稱軸是直線x=m，則函數f（x+m）是偶函數，
即對任意實數x，f（m-x）=f（m+x），…（14分）
2^m-x+k•2^-（m-x）=2^m+x+k•2^-（m+x），
化簡得（2^x-2^-x）（2^m-k•2^-m）=0，…（16分）
因為上式對任意x∈R成立，
所以2^m-k•2^-m=0，m=

1

2

log2k．…（17分）
所以，函數f（x）的圖象是軸對稱圖形，其對稱軸是直線x=

1

2

log2k．…（18分）

點評：本題是一道函數綜合題，屬于難題．著重考查了函數的單調性與奇偶性和函數圖象的對稱性，解題時要注意有關定義和結論的正確理解與準確應用．