Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABF₂的周長為4

2

，且△AF₁F₂面積最大時(shí)，△AF₁F₂為直角三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=2相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)M（1，0）在以PQ為直徑的圓上；
（3）試問，是否存在x軸上的點(diǎn)T（t，0），使得

TA

•

TB

為定值，若存在，求出T點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)題意得

b=c 4a=4 2

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由直線與橢圓相切，得2k²-m²+1=0，由此能證明M在以PQ為直徑的圓上．
（3）設(shè)過F₁（-1，0）的直線的方程為y=k₁（x+1），由

y=k1(x+1) x2+2y2=2

，得(2k12+1)x2+4k12x+2k12-2=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出存在點(diǎn)T(-

5

4

，0)，使得

TA

•

TB

為定值．

解答： （1）解：當(dāng)三角形面積最大時(shí)，為直角三角形，
此時(shí)A（0，b），根據(jù)題意得

b=c 4a=4 2

，（2分）
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）證明：由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線與橢圓相切，∴m≠0，△=0，∴2k²-m²+1=0，（6分）
設(shè)點(diǎn)P（x_P，y_P），則xP=-

2km

2k2+1

=-

2km

m2

=-

2k

m

，
yP=kxP+m=-

2k2

m

+m=

1

m

，（8分）
∴P(-

2k

m

，

1

m

)，又Q（2，2k+m），

MP

=(-

2k

m

-1，

1

m

)，

MQ

=(1，2k+m)，（9分）
則

MP

•

MQ

=-

2k

m

-1+

2k

m

+1=0
∴M在以PQ為直徑的圓上．（10分）
（3）解：若過F₁（-1，0）的直線的斜率存在，設(shè)其方程為y=k₁（x+1）
由

y=k1(x+1) x2+2y2=2

，得(2k12+1)x2+4k12x+2k12-2=0，（11分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得：x1+x2=-

4k12

2k12+1

，x1x2=

2k12-2

2k12+1

，
∴

TA

•

TB

=(x1-t，y1)•(x2-t，y2)=x1x2-t(x1+x2)+t2+k12(x1+1)(x2+1)
=(k12+1)x1x2+(k12-t)(x1+x2)+k12+t2
=(k12+1)

2k12-2

2k12+1

-(k12-t)

4k12

2k12+1

+k12+t2
=

(4t+1)k12-2

2k12+1

+t2，（14分）
當(dāng)4t+1=-4，即t=-

5

4

時(shí)，

TA

•

TB

=-

7

16

為定值，
若過F₁的直線的斜率不存在，則A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，T(-

5

4

，0)，

TA

•

TB

=-

7

16

為定值，
綜上所述，存在點(diǎn)T(-

5

4

，0)，使得

TA

•

TB

為定值．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)在圓上的證明，考查使得向量積為定值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．