Question

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)如果過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），

①求的值；

②當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)橢圓的方程為；(Ⅱ) ①；②直線的方程為或或．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由與離心率為，可求出方程；(Ⅱ) ①要求的值，可設(shè)直線的方程，采用設(shè)而不求的方法求得；②由①知：，如果為等腰直角三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則，利用可求出的值，從而求出直線的方程為．

試題解析：(Ⅰ)因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200591407546744/SYS201309220100105592378834_DA.files/image017.png">，解得，

所以橢圓的方程為．

(Ⅱ) ①若過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在，此時(shí)兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不滿足題目條件．

所以直線的斜率存在，設(shè)其斜率為，則的方程為，把代入橢圓方程得，設(shè)，則，，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200591407546744/SYS201309220100105592378834_DA.files/image007.png">，所以

，

②由①知：，如果為等腰直角三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則，且，

若，則，顯然滿足，此時(shí)直線的方程為；

若，則，解得，所以直線的方程為，即或．

綜上所述：直線的方程為或或．

考點(diǎn)：1、求橢圓方程，2、直線與二次曲線的位置關(guān)系．