已知等差數(shù)列{an}的公差d大于0,且滿足a3a6=55,a2+a7=16.?dāng)?shù)列{bn}滿足an=b1+
b2
2 
+
b3
22
+…+
bn
2n-1
 (n∈N *)

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設(shè)cn=
anan+1an+2
bn+1
,求cn取得最大值時n的值.
分析:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}首項為a1,由已知結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)得出,a3+a6=a2+a7.轉(zhuǎn)化為關(guān)于a3,a6=的方程組,再利用相關(guān)性質(zhì)求出a1,d,得出數(shù)列{an}的通項公式;當(dāng)n=1時,b1=a1=1; 當(dāng)n≥2時推導(dǎo)得出
bn
2n-1
=an-an-1=2
.可求得bn=
1,     n=1
2n,   n ≥ 2,n∈N *. 

(2)設(shè)cn≤cn+1,求出n ≤ 
7
2
(等號不成立),所以n=4時,cn最大.
解答:解:(1)∵{an}是一個公差d大于0的等差數(shù)列,則a3+a6=a2+a7
a3+a6=16
a3a6=55.
解得
a3=5
a6=11.
…(2分)
則3d=a6-a3=6,d=2.a(chǎn)1=1.
∴an=2n-1.                                …(4分)
an=b1+
b2
2 
+
b3
22
+…+
bn
2n-1
(n∈N *)
,①
1°當(dāng)n=1時,b1=a1=1;                        …(5分)
2°當(dāng)n≥2時,an-1=b1+
b2
2 
+
b3
22
+…+
bn-1
2n-2
(n ≥ 2,n∈N *)
,②
①-②,得
bn
2n-1
=an-an-1=2

bn=2n(n ≥ 2).                              …(8分)
由1°,2°,得bn=
1,     n=1
2n,   n ≥ 2,n∈N *. 
…(9分)
(2)設(shè)cn≤cn+1,即 
anan+1an+2
bn+1
 ≤ 
an+1an+2an+3
bn+2
.    …(10分)
∵an>0,bn+2=2bn+1,∴2an≤an+3
即2(2n-1)≤2n+5,∴n ≤ 
7
2
(等號不成立).      …(12分)
∴c1?c2?c3?c4,c4?c5?….
∴n=4時,cn最大.                           …(14分)
點評:本題考查數(shù)列通項公式求解,數(shù)列的單調(diào)性,考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、推理計算能力.
練習(xí)冊系列答案
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