Question

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當時，求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個極值點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時， 的單調遞增區(qū)間是，當時， 的單調遞增區(qū)間是， ，單調遞減區(qū)間是 ；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求當a=2時，函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，令f'（x）=0，得2x2-2x+a=0，對判別式討論，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間；（Ⅲ）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，由（Ⅱ）可得不等式f（x1）≥mx2恒成立即為即為，令求出導數(shù)，判斷單調性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．

試題解析：（Ⅰ）因為當時， ，所以.

因為，所以切線方程為.

（Ⅱ）因為，令，即.

（ⅰ）當，即時， ，函數(shù)在上單調遞增；

（ⅱ）當，即時，由，得，

① 若，由，得或；

由，得；

此時，函數(shù)在上遞減，在上遞增；

②若，則，函數(shù)在上遞減，在上遞增；

③若，則函數(shù)在上遞減，在上遞增.

綜上，當時，函數(shù)的增區(qū)間為在，無減區(qū)間；

當時， 的單調遞增區(qū)間是；

單調遞減區(qū)間是；

當時， 的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函數(shù)有兩個極值點，則.

因為，

所以.

因為，所以，

因為 ，

所以.

設，則.

因為，且，

在上單調遞減，則，所以.