Question

已知二次函數(shù)f （x）=x²+mx+n對(duì)任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，設(shè)向量=（ sinx，2 ），=（2sinx，），=（ cos2x，1 ），=（1，2），
（Ⅰ）求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求不等式f ＞f 的解集．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件f （-x）=f （2+x）可知f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，又由于函數(shù)圖象開口向上，故可求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)符號(hào)脫去，從而轉(zhuǎn)化為解三角不等式．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)f（x）圖象上的兩點(diǎn)為A（-x，y₁）、B（2+x，y₂），
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183636992325309/SYS201310241836369923253014_DA/0.png">=1
f （-x）=f （2+x），所以y₁=y₂
由x的任意性得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴x≥1時(shí)，f（x）是增函數(shù)；x≤1時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵•=（sinx，2）•（2sinx，）=2sin²x+1≥1，
•=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∵f（x）在是[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f （•）＞f （•）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+2）
?2sin²x+1＞cos2x+2?1-cos2x+1＞cos2x+2
?cos2x＜0?2kπ+＜2x＜2kπ+，k∈z
?kπ+＜x＜kπ+，k∈z
∵0≤x≤π，∴＜x＜
綜上所述，不等式f （•）＞f （•）的解集是：{ x|＜x＜}．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性，利用函數(shù)的單調(diào)性，求解三角不等式，有一定的綜合性．