如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

(1)求A1B與平面ABD所成角的余弦值；

(2)求點A1到平面AED的距離.

解析：(1)連結(jié)，則是在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角.

如圖所示建立坐標系，坐標原點為O.設(shè)=2a,則A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),?A1(2a,0,2),E(a,a,1),G(,,).

∴=(,,),=(0,-2a,1).?

∴·=-a2+=0，解得a=1.

∴=(2,-2,2),=(,-,).?

∴cos∠A1BG===.

(2)由(1)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)，

·=(-1,1,1)·(-1,-1,0)=0,?

·=(0,0,2)·(-1,-1,0)=0.

∴ED⊥平面AA1E.又ED平面AED,

∴平面AED⊥平面AA1E.

又面AED∩面AA1E=AE，

∴點A1在平面AED的射影K在上.

設(shè)=λ,則=+=(-λ,λ,λ-2).

由·=0,即λ+λ+λ-2=0,解得λ=.

∴=(-,,-).

∴||=.

故A1到平面AED的距離為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高考試題數(shù)學(xué)理（四川卷）解析版 題型：解答題

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省高考真題 題型：解答題

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面B1DP的距離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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