Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知e=(t，0)，p=λ(

MA

| MA |

+

MB

| MB |

)，是否對任意的正實數(shù)t，λ，都有

e

•

p

=0成立？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)長軸長是短軸長的2倍求得a和b的關(guān)系，把點M代入橢圓的方程求得a和b的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)

e

•

p

=0推斷出

p

與x軸垂直，進而根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)知，∠AMB的平分線應與x軸垂直，問題轉(zhuǎn)化為求直線MA，MB的傾斜角是否互補，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，設(shè)出A，B的坐標，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出k₁和k₂，求得k₁+k₂=0，推斷出直線MA，MB的傾斜角互補，進而證明題設(shè)．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
則

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=8 b2=2

，
∴橢圓方程

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）若

e

•

p

=0成立，則向量

p

=λ(

MA

| MA |

+

MB

| MB |

)與x軸垂直，
由菱形的幾何性質(zhì)知，∠AMB的平分線應與x軸垂直．為此只需考察直線MA，MB的傾斜角是否互補即可．
由已知，設(shè)直線l的方程為：y=

1

2

x+m
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，∴x2+2mx+2m2-4=0
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
只需證明k₁+k₂=0即可，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0可得，
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，而
k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴k₁+k₂=0，
直線MA，MB的傾斜角互補．
故對任意的正實數(shù)t，λ，都有

e

•

p

=0成立．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系的綜合問題．考查了學生轉(zhuǎn)化和化歸思想的運用，統(tǒng)籌運算的能力．