Question

為了了解某年段1000名學(xué)生的百米成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米成績(jī)，成績(jī)?nèi)�部介�?3秒與18秒之間，將成績(jī)按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率之比為3：8：19，且第二組的頻數(shù)為8．
（Ⅰ）將頻率當(dāng)作概率，請(qǐng)估計(jì)該年段學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱16，17）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅱ）求調(diào)查中隨機(jī)抽取了多少個(gè)學(xué)生的百米成績(jī)；
（Ⅲ）若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頻率分步直方圖中小正方形的面積是這組數(shù)據(jù)的頻率，用長(zhǎng)乘以寬得到面積，即為頻率．
（II）根據(jù)所有的頻率之和是1，列出關(guān)于x的方程，解出x的值做出樣本容量的值，即調(diào)查中隨機(jī)抽取了50個(gè)學(xué)生的百米成績(jī)．
（III）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件是從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，滿足條件的事件是成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒，列舉出事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）百米成績(jī)?cè)赱16，17）內(nèi)的頻率為0.32×1=0.32，
則共有1000×0.32=3200人；
（Ⅱ）設(shè)圖中從左到右前3個(gè)組的頻率分別為3x，8x，19x依題意，得
3x+8x+19x+0.32+0.08=1，
∴x=0.02
設(shè)調(diào)查中隨機(jī)抽取了n個(gè)學(xué)生的百米成績(jī)，
∴n=50
∴調(diào)查中隨機(jī)抽取了50個(gè)學(xué)生的百米成績(jī)．
（Ⅲ）百米成績(jī)?cè)诘谝唤M的學(xué)生數(shù)有3×0.02×1×50=3，記他們的成績(jī)?yōu)閍，b，c
百米成績(jī)?cè)诘谖褰M的學(xué)生數(shù)有0.08×1×50=4，記他們的成績(jī)?yōu)閙，n，p，q．
則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)包含的基本事件有
{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，
{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，
{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21個(gè)
其中滿足成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒所包含的基本事件有
{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，
{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12個(gè)，
∴P=

12

21

=

4

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查樣本估計(jì)總體，考查古典概型的概率公式，考查頻率分布直方圖等知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．