Question

已知a₁=2，且a_n+1=

2an

an+1

，求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：原式可化簡(jiǎn)為

1

an+1

-

1

2an

=

1

2

，令b_n=

1

an

，則有b_n+1-1=

1

2

（b_n-1）．可得{b_n-1}是等比數(shù)列，故通項(xiàng)公式b_n-1=（b₁-1）(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n．化簡(jiǎn)可得b_n=1-(

1

2

)n，從而可求得a_n．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且 a_n+1=

2an

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

，
∴

1

an+1

-

1

2an

=

1

2

，又

1

a1

=

1

2

，
令b_n=

1

an

，
則：

1

an+1

-

1

2an

=

1

2

化為：b_n+1-1=

1

2

（b_n-1）．
{b_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為：-

1

2

，公比為

1

2

，
∴b_n-1=（b₁-1）(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n．
b_n=1-(

1

2

)n，
∴

1

an

=1-(

1

2

)n，
∴a_n=

2n

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬于中檔題．