Question

已知方程x²-8x+6lnx-m=0有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)m范圍為

 

．

Answer 1

分析：遇到方程根的問題，一般是構(gòu)造新函數(shù)，題目轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點問題，通過導數(shù)得到函數(shù)的最值，把函數(shù)的最值同0進行比較，得到結(jié)果．

解答：解：方程x²-8x+6lnx-m=0有三個不同的實數(shù)解
則函數(shù)m（x）=x²-8x+6lnx-m的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點．
∵m（x）=x²-8x+6lnx-m，
∴?′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)，
當x∈（0，1）時，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當x∈（0，3）時，m'（x）＜0，m（x）是減函數(shù)；
當x∈（3，+∞）時，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當x=1，或x=3時，m'（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=-m-7，m（x）_最小值=m（3）=-m+6ln3-15．
∵當x充分接近0時，m（x）＜0，當x充分大時，m（x）＞0．
∴要使m（x）的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須

?(x)最大值=-m-7＞0 ?(x)最小值=-m+6ln3-15＜0

即6ln3-15＜m＜-7．
故答案為：6ln3-15＜m＜-7

點評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學思想方法和分析問題、解決問題的能力．