Question

 本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分。

如圖，在四面體中，平面 ⊥ , ⊥,=,∠=

 （Ⅰ）若=2，=2，求四邊形的體積。

 （Ⅱ）若二面角--為，求異面直線與所成角的余弦值。       

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（Ⅰ）如圖所示，設(shè)F為AC的中點，由于AD=CD,所以DF⊥AC.

故由平面 ⊥ ,知DF⊥平面,即，。在中，因,AB=2BC,有勾股定理易得.

故四面體ABCD的體積

   （Ⅱ）如圖所示設(shè)G、H分別為變CD，BD的中點，則FG//AD,GH//BC,,從而是異面直線與所成角或其補(bǔ)角。

設(shè)E為邊AB的中點，則EF//BC,由⊥，知⊥，又由（Ⅰ）有DF⊥平面，故由三垂線定理知⊥,所以為二面角--的平面角,由題設(shè)知，設(shè)AD=a，則DF=ADsinCAD=

在中，，

從而

因，故BD=AD=a.從而，在中，,又

,從而在中，因FG=FH，由余弦定理得,

故異面直線與所成角的余弦值為