精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知二次函數f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），設方程f（x）=x的兩個實數根為x1和x2．
（1）如果x1＜2＜x2＜4，設二次函數f（x）的對稱軸為x=x0，求證：x0＞-1；
（2）如果|x1|＜2，|x2-x1|=2，求b的取值范圍．
分析：（1）有x1＜2＜x2＜4轉化為g（x）=f（x）-x=0有兩根：一根在2與4之間，另一根在2的左邊，利用一元二次方程根的分布可證．
（2）先有a＞0，知兩根同號，在分兩根均為正和兩根均為負兩種情況來討論．再利用兩根之和與兩根之積和|x2-x1|=2來求b的取值范圍．
解答：精英家教網解：（1）設g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由條件x1＜2＜x2＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即
4a+2b-1＜0
16a+4b-3＞0

由可行域可得
b
a
＜2，∴x0=-
b
2a
＞-1．
（2）由g（x）=ax2+（b-1）x+1=0，知x1x2=
1
a
＞0，故x1與x2同號．
①若0＜x1＜2，則x2-x1=2（負根舍去），
∴x2=x1+2＞2．
∴
g(2)＜0
g(4)＞0
，即
4a+2b-1＜0
16a+4b-3＞0
?b＜
1
4
；
②若-2＜x1＜0，則x2=-2+x1＜-2（正根舍去），
g(-2)＜0
g(-4)＞0
，即
4a-2b+3＜0
16a-4b+5＞0
?b＞
7
4
．
綜上，b的取值范圍為b＜
1
4
或b＞
7
4
．
點評：利用函數的零點求參數范圍問題，通常有兩種解法：一種是利用方程中根與系數的關系或利用函數思想結合圖象求解．二種是構造兩個函數分別作出圖象，利用數形結合求解．此類題目也體現(xiàn)了函數與方程，數形結合的思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區(qū)間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案