Question

設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑．

Answer 1

分析：設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球，然后找出球心所在的三角形，設(shè)AD=EF=a，求出內(nèi)切圓半徑然后利用基本不等式即可求出最大值．

解答：解：∵AB⊥AD，AB⊥MA，
∴AB⊥平面MAD，
由此，面MAD⊥面AC．
記E是AD的中點(diǎn)，從而ME⊥AD．
∴ME⊥平面AC，ME⊥EF．
設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球．
不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是△MEF的內(nèi)心．
設(shè)球O的半徑為r，則r=

2S△MEF

EF+EM+MF

設(shè)AD=EF=a，∵S_△AMD=1．
∴ME=

2

a

．MF=

a2+( 2 a )2

，
r=

2

a+ 2 a + a2+( 2 a )2

≤

2

2+2 2

=

2

-1．
當(dāng)且僅當(dāng)a=

2

a

，即a=

2

時(shí)，等號(hào)成立．
∴當(dāng)AD=ME=

2

時(shí)，滿足條件的球最大半徑為

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：涉及球與棱柱、棱錐的切接問(wèn)題時(shí)一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長(zhǎng)間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系，屬于中檔題．