Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CA、BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，利用AB為圓的直徑結(jié)合EF與AB的垂直關(guān)系，通過證明A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓即可證得結(jié)論；
（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用三角形△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用線段間的關(guān)系即求得AB²=BE•BD-AE•AC．
解答：證明：（1）連接AD，因?yàn)锳B為圓的直徑，
所以∠ADB=90°，（1分）
又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）
則A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓（2分）
∴∠DEA=∠DFA（1分）
（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，（1分）
又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC（2分）
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•（BF-AF）=AB²（2分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、四點(diǎn)共圓的證明方法、三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．