Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過AB、AD、DD₁的中點(diǎn)P、Q、R作截面，求截面與面CC₁D₁D所成的二面角的大小．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出截面與面CC₁D₁D所成的二面角的大�。�

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為2，
則Q（1，0，0），R（0，0，1），P（1，1，0），
$\overrightarrow{QR}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{QP}$=（0，1，0），
設(shè)平面PQR的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QR}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QP}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
平面CC₁D₁D的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴截面與面CC₁D₁D所成的二面角的大小為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．