Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c和g（x）=2x+b，若對任意的x∈R，恒有f（x）≥g（x）
（1）證明：c≥1且c≥b
（2）證明：當(dāng)x≥0時，（x+c）²≥f（x）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對任意的x∈R，恒有f（x）≥g（x），可得x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，即△=（b-2）²-4（c-b）≤0，進而分別判斷c-1和c-b的符號，可得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，可得2c-b=c+（c-b）≥0，c（c+1）≥0，利用做差法可得：（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1），再由一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵對任意的x∈R，恒有f（x）≥g（x），f（x）=x²+bx+c，g（x）=2x+b，
∴x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立
所以△=（b-2）²-4（c-b）≤0，從而 c≥

b2

4

+1
于是 c-1≥

b2

4

≥0，
c-b≥

b2

4

+1-b=(

b

2

-1)2≥0
所以 c≥1且c≥b；
（2）∵（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）
當(dāng)x≥0時，由（1）2c-b=c+（c-b）≥0，
c（c+1）≥0
∴（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0
故：當(dāng)x≥0時，（x+c）²≥f（x）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．