Question

學習曲線是1936年美國廉乃爾大學T．P．Wright博士在飛機制造過程中，通過對大量有關資料、案例的觀察、分析、研究，首次發(fā)現(xiàn)并提出來的．已知某類學習任務的學習曲線為：f（t）=

3

4+a•2-t

•100%（其中f（t））為掌握該任務的程度，t為學習時間），且這類學習任務中的某項任務滿足f（2）=60%
（1）求f（t）的表達式，計算f（0）并說明f（0）的含義；
（2）已知2^x＞xln2對任意x＞0恒成立，現(xiàn)定義

f(t)

t

為該類學習任務在t時刻的學習效率指數(shù)，研究表明，當學習時間f∈（1，2）時，學習效率最佳，當學習效率最佳時，求學習效率指數(shù)相應的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(t)=  

3

4+a•2-t

 ×100%，及f（2）=60%代入可求a，進而可求f（t），f（0），f（0）表示某項學習任務在開始學習時已掌握的程度
（2）令學習效率指數(shù)y=

f(t)

t

，y=

f(t)

t

=

3

4t(1+2-t)

=

3

4(t+ t 2t )

（t＞0），利用函數(shù)的導數(shù)研究g(t)=

t

2t

+t 的單調性，進而可求函數(shù)g（t）在（1，2）上的值域即學習效率指數(shù)相應的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(t)=  

3

4+a•2-t

 ×100%，且f（2）=60%

3

4+a•2-t

×100%=60%，可得a=4
∴f（t）=

3

4(1+2-t)

，(t≥0)
∴f(0)=

3

4(1+1)

=

3

8

=37.5%
f（0）表示某項學習任務在開始學習時已掌握的程度為37.5% （4分）
（2）令學習效率指數(shù)y=

f(t)

t

，
y=

f(t)

t

=

3

4t(1+2-t)

=

3

4(t+ t 2t )

（t＞0）
現(xiàn)研究g(t)=

t

2t

+t 的單調性
g′(t)=1+

2t-t•2tln2

2t

=

2t-tln2+1

2t

（t＞0）（6分）
又已知x＞0時，2^x＞xln2恒成立
所以2^t-tln2＞0恒成立
∴g（t）在（0，+∞）上為增函數(shù)且g（t）為正數(shù)
∴y=

f(t)

t

=

3

4(t+ t 2t )

在(0，+∞ )上為減函數(shù)．  （8分）
而y|t=1=

f(1)

1

=

1

2

，y|t=2=

f(2)

2

=

3

10

∴y=

f(t)

t

∈(

3

10

，

1

2

)
故所求學習效率指數(shù)的取值范圍是（

3

10

，

1

2

） （10分）

點評：本題以新定義為載體主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及利用單調性求解函數(shù)的值域，屬于知識的簡單運用．