【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(2)=0,當(dāng)x>0時(shí),有xf′(x)﹣f(x)<0恒成立,則不等式x2f(x)>0的解集是 .
【答案】(﹣∞,﹣2)∪(0,2)
【解析】解:構(gòu)造函數(shù)g(x)= ,g′(x)= , 因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),有xf′(x)﹣f(x)<0恒成立,即g′(x)= <0恒成立,
所以在(0,+∞)內(nèi)g(x)單調(diào)遞減.
因?yàn)閒(2)=0,所以f(x)在(0,2)內(nèi)恒有f(x)>0;在(2,+∞)內(nèi)恒有f(x)<0.
又因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以在(﹣∞,﹣2)內(nèi)恒有f(x)>0;在(﹣2,0)內(nèi)恒有f(x)<0.
又不等式x2f(x)>0的解集等價(jià)為不等式f(x)>0的解集.
所以不等式的解集為(﹣∞,﹣2)∪(0,2).
所以答案是:(﹣∞,﹣2)∪(0,2).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集,以及對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解,了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(2sinx,﹣cosx)、B( cosx,2cosx),記f(x)= .
(1)若x0是函數(shù)y=f(x)﹣1的零點(diǎn),求tanx0的值;
(2)求f(x)在區(qū)間[ , ]上的最值及對(duì)應(yīng)的x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某單位有50名職工,現(xiàn)要從中抽取 10名職工,將全體職工隨機(jī)按1~50編號(hào),并按編號(hào)順序平均分成10組,按各組內(nèi)抽取的編號(hào)依次增加5進(jìn)行系統(tǒng)抽樣.
(Ⅰ)若第5組抽出的號(hào)碼為22,寫(xiě)出所有被抽出職工的號(hào)碼;
(Ⅱ)分別統(tǒng)計(jì)這10名職工的體重(單位:公斤),獲得體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示,求該樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和方差;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從這10名職工中隨機(jī)抽取兩名體重不輕于73公斤(73公斤)的職工,求體重為81公斤的職工被抽取到的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng),其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)=2x﹣1,f2(x)=x3 , f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下結(jié)論:
①當(dāng)x>1時(shí),甲走在最前面;
②當(dāng)x>1時(shí),乙走在最前面;
③當(dāng)0<x<1時(shí),丁走在最前面,當(dāng)x>1時(shí),丁走在最前面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去,最終走在最前面的是甲.
其中,正確結(jié)論的序號(hào)為(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上,多填或少填均不得分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體.已知在平行四邊形ABCD中(如圖1),有AC2+BD2=2(AB2+AD2),則在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中(如圖2),AC12+BD12+CA12+DB12等于( )
A.2(AB2+AD2+AA12)
B.3(AB2+AD2+AA12)
C.4(AB2+AD2+AA12)
D.4(AB2+AD2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn), 的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡.給出下列命題:
①曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn);
②曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱;
③若點(diǎn)在曲線上,則的周長(zhǎng)有最小值;
④若點(diǎn)在曲線上,則面積有最大值.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖表示某人的體重與年齡的關(guān)系,則( 。
A.體重隨年齡的增長(zhǎng)而增加
B.25歲之后體重不變
C.體重增加最快的是15歲至25歲
D.體重增加最快的是15歲之前
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓C1: +y2=1,雙曲線C2: =1(a>0,b>0),若以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于A,B兩點(diǎn),且C1與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段AB三等分,則C2的離心率為( )
A.
B.5
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ 的圖象過(guò)點(diǎn)P(1,5).
(1)求實(shí)數(shù)m的值,并證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù);
(2)利用單調(diào)性定義證明f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù).
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