Question

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為

π

4

，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=3A'B'，則AB與平面β所成的角的正弦值是（　�。�

• A．

  14

  6

• B．

  5

  5

• C．

  22

  6

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：連接AB′，BA′，由題設(shè)知∠B′AB=

π

4

，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB與平面β所成的角，由此能求出AB與平面β所成的角的正弦值．

解答：解：連接AB‘，BA’，
∵平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為

π

4

，
過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，
∴∠B′AB=

π

4

，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB與平面β所成的角，
設(shè)A′B′=a，∵AB=3A'B'，∴AB=3a，
設(shè)AB′=BB′=x，則2x²=9a²，解得AB′=BB′=

3 2

2

a，
∴A′B=

9a2 2 +a2

=

22

2

a ，AA′=

9a2- 11 2 a2

=

14

2

a，
∴sin∠ABA′=

14 2 a

3a

=

14

6

．
故選A．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．