Question

已知某海濱浴場的海浪高度y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：小時(shí)）的函數(shù)，記作y=f（t），如表所示是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：

t（時(shí)）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

經(jīng)長期觀測，y=f（t）的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)解答下列問題：
（1）求函數(shù)f（t）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（t）=f（kt+3）（k＜0），其最小正周期為T=3，求實(shí)數(shù)k的值，并計(jì)算g（

3

8

）+g（1）+g（3）的值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t∈[1，

21

8

）時(shí)，求函數(shù)g（t）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由表中數(shù)據(jù)可得周期T=12，可得ω=

π

6

，又可得

A+B=1.5 -A+B=0.5

，解方程組可得A，B，代值可得φ，可得解析式；
（2）由（1）知g（t）=-0.5sin

kπ

6

t+1，由周期公式可得k=-4，可得g（t）解析式，代值計(jì)算可得；
（3）由（2）知g（t）=0.5sin（

2π

3

t）+1，由t∈[1，

21

8

）和三角函數(shù)的性質(zhì)可得值域．

解答： 解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得周期T=12，則

2π

ω

=12，解得ω=

π

6

，
由表中數(shù)據(jù)和最值可得

A+B=1.5 -A+B=0.5

，解得

A=0.5 B=1

，
∴f（t）=0.5sin（

π

6

t+φ）+1，
代點(diǎn)（0，1.5）可得0.5sinφ+1=1.5，即sinφ=1
由0＜φ＜π可解得φ=

π

2

，
∴函數(shù)f（t）的解析式為f（t）=0.5sin（

π

6

t+

π

2

）+1；
（2）由（1）知g（t）=f（kt+3）=0.5sin（

kπ

6

t+π）+1=-0.5sin

kπ

6

t+1，
由周期公式可得

2π

- kπ 6

=3，解得k=-4，
∴g（t）=-0.5sin（-

2π

3

t）+1=0.5sin（

2π

3

t）+1
∴g（

3

8

）+g（1）+g（3）=0.5sin

π

4

+1+0.5sin

2π

3

+1+0.5sin2π+1=

2 + 3

4

+3；
（3）由（2）知g（t）=0.5sin（

2π

3

t）+1，
∵t∈[1，

21

8

），∴

2π

3

t∈[

2π

3

，

7π

4

），
∴sin

2π

3

t∈[-1，

3

2

]，∴0.5sin（

2π

3

t）+1∈[

1

2

，

3

4

+1]，
∴函數(shù)g（t）的值域?yàn)椋篬

1

2

，

3

4

+1]

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的最值和周期性，屬中檔題．