Question

在四邊形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），點B在x軸上，BC∥AD，且對角線AC⊥BD．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）若點P是直線y=2x-5上任意一點，過點P作點C的軌跡的兩切線PE、PF，E、F為切點，M為EF的中點．求證：PM⊥x軸；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，直線EF是否恒過一定點？若是，請求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點C的坐標為（x，y），再由共線向量定理求解．（Ⅱ）對函數(shù)y=

1

4

x2 求導(dǎo)得y′=

1

2

x．設(shè)切點坐標，得切線方程．又設(shè)點P的坐標為（t，2t-5），由切線過點P，得E，F(xiàn)所在的直線方程，由韋達定理求得M坐標得證．（Ⅲ）先求得直線AB的方程為：y-(

1

2

t2-2t+5)=

1

2

t(x-t)，即t（x-4）+10-2y=0．（*）當x=4，y=5時，方程（*）恒成立，

解答：解：（Ⅰ）如圖，設(shè)點C的坐標為（x，y）（x≠0，y≠0），
則B(x，0)， 

AC

=(x，y)， 

BD

=(-x，4) ，
∵

AC

⊥

BD

，
∴x•（-x）+y•4=0，即y=

1

4

x2(x≠0)．
∴所求的軌跡T是除去頂點的拋物線（3分）
（Ⅱ）對函數(shù)y=

1

4

x2 求導(dǎo)得，y′=

1

2

x．
設(shè)切點坐標為(x0， 

1

4

x02)，則過該切點的切線的斜率是

1

2

x0，
該切線方程是y-

1

4

x02=

1

2

x0(x-x0)．
又設(shè)點P的坐標為（t，2t-5），
∵切線過點P，
∴有2t-5-

1

4

x02=

1

2

x0(t-x0)，
化簡，得x₀²-2tx₀+8t-20=0．（6分）
設(shè)A、B兩點的坐標分別為(x1， 

1

4

x12)、(x2， 

1

4

x22)，
則x₁、x₂為方程x²-2tx+8t-20=0的兩根，x₁+x₂=2t，?x₁x₂=8t-20．
∴xM=

x1+x2

2

=t
因此，當t=0時，直線PM與y軸重合，當t≠0時，直線PM與y軸平行（9分）
（Ⅲ）∵yM=

1

2

(

1

4

x12+

1

4

x22)=

1

8

[(x1+x2)2-2x1x2]=

1

8

[4t2-2(8t-20)]=

1

2

t2-2t+5．
∴點M的坐標為(t，  

1

2

t2-2t+5)．
又∵kAB=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

1

4

(x1+x2)=

1

4

•2t=

1

2

t．
∴直線AB的方程為：y-(

1

2

t2-2t+5)=

1

2

t(x-t)，即t（x-4）+10-2y=0．（*）
∵當x=4，y=5時，方程（*）恒成立，
∴對任意實數(shù)t，直線AB恒過定點，定點坐標為（4，5）．（14分）

點評：本題主要考查向量法求軌跡方程，導(dǎo)數(shù)法求切線方程以及直線過定點問題．