【題目】(1)圖所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如圖(2)所示.

1證明:CD⊥平面A1OC;

2若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)要證明直線與平面垂直,在直角梯形中易得,因此只要能證與此平面垂直即可,而同樣在梯形中,折疊時(shí),垂直保持不變,因此易得垂直結(jié)論;(2)由已知平面A1BE⊥平面BCDE,則可以以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,從而寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面和平面的法向量,由法向量的夾角得二面角.

試題解析:1證明:在圖1中,

因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),

,所以BE⊥AC,BE∥CD.

即在圖2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,

又OA1∩OC=O,OA1平面A1OC,OC平面A1OC,

從而B(niǎo)E⊥平面A1OC.

又CD∥BE,

所以CD⊥平面A1OC.

2由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,

又由1知,BE⊥OA1,BE⊥OC,

所以∠A1OC為二面角A1BE C的平面角,

所以

如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED,

所以 ,

設(shè)平面A1BC的法向量n1x1,y1,z1,平面A1CD的法向量n2x2,y2,z2,平面A1BC與平面A1CD的夾角為θ,

取n11,1,1;

取n20,1,1,

從而

即平面A1BC與平面A1CD所成銳二面角的余弦值為

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