Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x

x+1

，且a1=

1

2

，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）計(jì)算a₂，a₃的值；
（II）設(shè)a₂=2，求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（III）求證：

1

2

≤an＜1．

Answer 1

分析：（I）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（II）利用等比數(shù)列的定義，即可證得結(jié)論；
（III）結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)，利用作差法，即可證明結(jié)論．

解答：（I）解：由題意，得an+1=

2an

an+1

，（1分）
因?yàn)?span id="838ynyd" class="MathJye">a1=

1

2

，所以a2=

2

3

，a3=

4

5

，（3分）
（II）證明：因?yàn)?span id="oyr8uak" class="MathJye">an+1=

2an

an+1

，
所以

bn+1

bn

=

1-an+1 an+1

1-an an

=

1 an+1 -1

1-an an

=

an+1 2an -1

1-an an

=

1

2

．
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b1=

1-a1

a1

=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，（7分）
（III）證明：由（II），得bn=

1-an

an

=1×(

1

2

)n-1，（8分）
所以an=

2n-1

2n-1+1

．（9分）
因?yàn)?span id="kobzg1e" class="MathJye">an-

1

2

=

2n-1

2n-1+1

-

1

2

=

2×2n-1-2n-1-1

2(2n-1+1)

=

2n-1-1

2n+2

，
且當(dāng)n∈N^*時(shí)，2^n-1-1≥0，2ⁿ+2＞0，
所以an-

1

2

≥0，即an≥

1

2

．（12分）
因?yàn)?span id="xcloxsj" class="MathJye">an-1=

2n-1

2n-1+1

-1=

-1

2n-1+1

＜0，
所以a_n＜1．
綜上，對于任意n∈N^*，都有

1

2

≤an＜1．（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．