Question

觀察下列等式：C₂¹=C₁¹+C₁⁰C₃¹=C₂¹+C₂⁰C₃²=C₂²+C₂¹C₄¹=C₃¹+C₃⁰C₄²=C₃²+C₃¹C₄³=C₃³+C₃²…，由以上等式推測到一個一般性的結(jié)論：對任意的n，r∈N⁺（n＞r），C_n^r=

C_n-1^r+C_n-1^r-1

．

Answer 1

分析：仔細觀察題設(shè)條件，我們能夠發(fā)現(xiàn)：每一個組合數(shù)都能拆分成兩個組合數(shù)之和，且這兩拆分后的組合數(shù)的下標(biāo)比拆分前組合數(shù)的下標(biāo)小1，拆分后的兩個組合數(shù)的上標(biāo)之和恰好等于拆分前組合數(shù)的上標(biāo)，從中總結(jié)規(guī)律后，能夠得到C_n^r的表達式．

解答：解：∵C₂¹=C₁¹+C₁⁰，
C₃¹=C₂¹+C₂⁰，
C₃²=C₂²+C₂¹，
C₄¹=C₃¹+C₃⁰，
C₄²=C₃²+C₃¹，
C₄³=C₃³+C₃²，
…
∴C_n^r=C_n-1^r+C_n-1^r-1．
故答案為：C_n-1^r+C_n-1^r-1．

點評：本題考查歸納推理的靈活運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意觀察，善于總結(jié)．