Question

如圖，邊長為2的等邊三角形ADE垂直于矩形ABCD所在平面，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，EC和平面ABCD成角，求：

(1)四棱錐E－AFCD的體積；

(2)二面角E－FC－D的大�。�

(3)D到平面EFC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)在平面EAD內(nèi)，EG⊥AD于G．由平面EAD⊥底面ABCD，且，知EG⊥平面ABCD． 連結(jié)CG，則CG是EC在平面ABCD內(nèi)的射影． 所以∠ECG是EC與平面ABCD所成的角，即∠ECG=． 在Rt△EGC中，EG=，EC=，GC=3． 在Rt△GDC中，GD=1，GC=3，故CD=． (2)由∠BAD=，知BA⊥平面EAD，故BA⊥AE，EF==，F(xiàn)C=，． ∴△EFC是等腰直角三角形． 連結(jié)FG，則FG是EF在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理的逆定理，GF⊥FC． ∴ ∠EFG是二面角E－CF－D的平面角． 由FG=EG=，知∠EFG=，即二面角E－FC－D是的二面角． (3)連結(jié)DF，D到平面EFC的距離h為棱錐D－EFC的高． 本例易錯(cuò)的地方是第二問中∠EFG為二面角E－CF－D的平面角．此平面角是通過“計(jì)算”得到的，如果先作平面角，過G向FC作垂線，垂足為，經(jīng)過運(yùn)算F與必重合．可看出“計(jì)算”在解此題中的重要性．