Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線平行于直線，求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅱ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）時(shí)， 在無零點(diǎn)； 時(shí)， 在恰有一個(gè)零點(diǎn)； 時(shí)， 在有兩個(gè)零點(diǎn)（3）或

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得， ；（2）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）不等式能成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

試題解析：

（Ⅰ）,函數(shù)在處的切線平行于直線

..

（Ⅱ）令 ， 得

記 ， 由此可知

在上遞減，在上遞增，

且 時(shí)

故時(shí)， 在無零點(diǎn)

時(shí)， 在恰有一個(gè)零點(diǎn)

時(shí)， 在有兩個(gè)零點(diǎn)

（Ⅲ）在上存在一點(diǎn),使得成立等價(jià)于函數(shù)在上的最小值小于零.

,

①當(dāng)時(shí),即時(shí), 在上單調(diào)遞減,所以的最小值為,由可得,；

②當(dāng)時(shí),即時(shí), 在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,由可得；

③當(dāng)時(shí),即時(shí),可得的最小值為此時(shí), 不成立.

綜上所述:可得所求的范圍是或