Question

【題目】已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)存在極小值時(shí)，設(shè)極小值點(diǎn)為，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）若為單調(diào)遞增函數(shù)，則有恒成立，從而求的最小值即可得解；

（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）中函數(shù)的單調(diào)性只需討論時(shí)，通過討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得使得，使得，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，結(jié)合，消去留，構(gòu)造，可證得，進(jìn)而只需證明，再構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性即可證得.

（Ⅰ）由題意知，

令，，

顯然在上單調(diào)遞增，且，

故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以．

若為增函數(shù)，則恒成立，即，即．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足題意．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知時(shí)，為增函數(shù)，不存在極小值；

當(dāng)時(shí)，，，，

故存在使得；

，令，，

顯然在上單調(diào)遞增，

故，故在上單調(diào)遞增，

故，故，

因此存在使得．

因此在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．

，，

由代入消去得，

令，，

當(dāng)時(shí)，，，

故時(shí)，，單調(diào)遞減，

即在上單調(diào)遞減，故，

故要證，只需證，

令，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)，．

綜上，成立．