Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax2+bx-1，
（1）當(dāng)a=0且b=1時(shí)，證明：對(duì)?x＞0，f（x）≤g（x）；
（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）數(shù)列{a_n}，若存在常數(shù)M＞0，?n∈N^*，都有a_n＜M，則稱數(shù)列{a_n}有上界．已知b_n=1+

1

2

+…+

1

n

，試判斷數(shù)列{b_n}是否有上界．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把f（x）和g（x）作差后構(gòu)造輔助函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，由最值的符號(hào)得到要證明的結(jié)論；
（2）由h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，得其導(dǎo)函數(shù)小于0在定義域內(nèi)有解，由導(dǎo)函數(shù)分離變量a后換元，然后利用配方法求得分離變量后的代數(shù)式的值域，則實(shí)數(shù)a的范圍可求；
（3）令x-1=

1

n

，則x=1+

1

n

，由（1）得到不等式

1

n

≥ln

n+1

n

，累加后可證明數(shù)列{b_n}無上界．

解答： （1）證明：當(dāng)a=0且b=1時(shí)，設(shè)g（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，
對(duì)?x＞0，g/(x)=

1

x

-1，解g′（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g/(x)=

1

x

-1＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，g/(x)=

1

x

-1＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）在x=1處取最大值，
即?x＞0，g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，lnx≤x-1，即f（x）≤g（x）；
（2）解：當(dāng)b=2時(shí)，h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

ax2-2x+1，
∴h′(x)=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

，
∵函數(shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∴ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，
∴a＞

1-2x

x2

在（0，+∞）上有解，即?x∈（0，+∞），使得a＞(

1

x

)2-

2

x

，
令t=

1

x

，x＞0，則t＞0，則y=t²-2t=（t-1）²-1，t＞0，當(dāng)t=1時(shí)，y_min=-1
∴a＞-1；
（3）解：數(shù)列{b_n}無上界?n∈N^*．
設(shè)x-1=

1

n

，x=1+

1

n

，由（1）得，ln(1+

1

n

)≤

1

n

，

1

n

≥ln

n+1

n

，
∴bn=1+

1

2

+…+

1

n

≥ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1），
?M＞0，取n為任意一個(gè)不小于e^M的自然數(shù)，則bn=ln(n+1)＞lneM=M，∴數(shù)列{b_n}無上界．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，主要用導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答（3）的關(guān)鍵是借助于（1）的結(jié)論得到含有自然數(shù)n的不等式

1

n

≥ln

n+1

n

，是難度較大的題目．