Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的長軸、短軸、焦距分別為A₁A₂、B₁B₂、F₁F₂，且|F₁F₂|²是|A₁A₂|² 與
|B₁B₂|²的等差中項
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若曲線C₂的方程為（x-t）²+y²=（t²+

3

t）²（0＜t≤

2

2

），過橢圓C₁左頂點的直線l與曲線C₂相切，求直線l被橢圓C₁截得的線段長的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)|F₁F₂|²是|A₁A₂|² 與|B₁B₂|²的等差中項，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x+

3

），由直線l與曲線C₂相切得

|k(t+ 3 )|

k2+1

=(t+

3

)t，整理得

|k|

k2+1

=t，將直線l的方程代入橢圓方程，消去y整理，求出另一端點坐標，換元，即可求直線l被橢圓C₁截得的線段長的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得|B₁B₂|=2b=2，|A₁A₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∵|F₁F₂|²是|A₁A₂|² 與|B₁B₂|²的等差中項，
∴2×（2c）²=（2a）²+2²，
解得a²=3，c²=2，
故橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓的左頂點坐標為A₁（-

3

，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x+

3

）
由直線l與曲線C₂相切得

|k(t+ 3 )|

k2+1

=(t+

3

)t，整理得

|k|

k2+1

=t
又∵0＜t≤

2

2

，
∴0＜

|k|

k2+1

≤

2

2

，解得0＜k²≤1
直線l的方程代入橢圓方程，消去y整理得：（3k²+1）x²+6

3

k²x+9k²-3=0，
直線l被橢圓C₁截得的線段一端點為A₁（-

3

，0），
設(shè)另一端點為B，解方程可得點B的坐標為(

-3 3 k2+ 3

3k2+1

，

2 3 k

3k2+1

)，
∴|AB|=

2 3 • k2+1

3k2+1

令m=

k2+1

（1＜m≤

2

），則|AB|=

2 3 m

3(m2-1)+1

=

2 3

3m- 2 m

考查函數(shù)y=3m-

2

m

的性質(zhì)知y=3m-

2

m

在區(qū)間（1，

2

]上是增函數(shù)，
∴m=

2

時，y=3m-

2

m

取最大值2

2

，
從而直線l被橢圓C₁截得的線段長的最小值為

6

2

．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．