Question

函數(shù)f(x)=

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x3+x-sinx的定義域為R，數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，若a₁₀₀₇=-1，m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃），則（　�。�

A．m恒為負(fù)數(shù)

B．m恒為正數(shù)

C．當(dāng)d＞0時，m恒為正數(shù)；當(dāng)d＜0時，m恒為負(fù)數(shù)

D．當(dāng)d＞0時，m恒為負(fù)數(shù)；當(dāng)d＜0時，m恒為正數(shù)

Answer 1

分析：由函數(shù)的解析式可得f（x）是奇函數(shù)，由它的導(dǎo)數(shù)f′（x）≥0，可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．分d＞0和d＜0以及d=0三種情況，分別利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，求得 f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＜0，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＜0，…，從而得到 m＜0，從而得出結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

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x3+x-sinx的定義域為R，是奇函數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²+1-cosx≥0，
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，a₁₀₀₇=-1，當(dāng)d＞0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，由a₁+a₂₀₁₃=a₁₀₀₇=-1＜0，
可得 a₂₀₁₃＜-a₁，∴f（a₂₀₁₃）＜f（-a₁）=-f（a₁），∴f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＜0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＜0，…
故 m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）
=f（a₁）+f（a₂₀₁₃）+f（a₂）+f（a₂₀₁₂）+f（a₃）+f（a₂₀₁₁）+…+f（a₁₀₀₇）＜0．
當(dāng)d＜0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，同理求得 m＜0．
當(dāng)d=0時，該數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，每一項都等于-1，故有f（a_n）=f（-1）=-

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-1-sin（-1）=sin1-

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＜0，
故m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）＜0，
故選A．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．