Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x-lnx(x＞0)，則函數(shù)f（x）（　�。�

• A、在區(qū)間（0，1），（1，+∞）內(nèi)均有零點(diǎn)
• B、在區(qū)間（0，1），（1，+∞）內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)
• C、在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)
• D、在區(qū)間（0，1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)

Answer 1

分析：求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在（0，3）單調(diào)遞減，3，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取最小值1-ln3＜0，根據(jù)單調(diào)性和最值以及f（1）=

1

3

＞0．確定答案．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1

3

x-lnx(x＞0)，
∴f′(x)=

1

3

-

1

x

=

x-3

3x

=0，得x=3
∴當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，3）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取最小值1-ln3＜0，
f（1）=

1

3

＞0．
∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題，同時(shí)了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．