Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=n•a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n可以根據(jù)公式a_n=S_n-S_n-1求出數(shù)列的通項公式，注意要驗證n=1的情況；
（2）把a_n代入c_n=n•a_n，再利用錯位相減法，求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，然后就很容易證明了；
解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=a₁，a₁=，
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=（a_n）-（a_n-1）=a_n-1-a_n，
即a_n=a_n-1，
又a₁=≠0，所以數(shù)列{a_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴a_n==（n∈N₊）
（2）由（1）可知C_n=n，
所以T_n=1×+2×+…+（n-1）•+n，①
3T_n=1×+2×+3×+…+n•②，
②-①可得2T_n=1×-n•+1×+1×+…++，
2T_n=1-n+=1-+-，
∴T_n=-＜
點評：此題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，解題過程中用到了錯位相減法，這也是高考常用的方法，是一道中檔題，本題計算量有些大，考查學生的細心程度；