Question

7、如圖，一個(gè)計(jì)算裝置有兩個(gè)數(shù)據(jù)輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個(gè)運(yùn)算結(jié)果輸出口Ⅲ，當(dāng)Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)m，n時(shí)，輸出結(jié)果記為f（m，n），且計(jì)算裝置運(yùn)算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則f（1，1）=1；②若Ⅰ輸入固定的正整數(shù)，Ⅱ輸入的正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來(lái)增大3；③若Ⅱ輸入1，Ⅰ輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來(lái)3倍．試求：
（1）f（m，1）的表達(dá)式（m∈N）；
（2）f（m，n）的表達(dá)式（m，n∈N）；
（3）若Ⅰ，Ⅱ都輸入正整數(shù)n，則輸出結(jié)果f（n，n）能否為2006？若能，求出相應(yīng)的n；若不能，則請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）仔細(xì)審題，按照題設(shè)條件一步一步地進(jìn)行轉(zhuǎn)換，能夠?qū)С鰂（m，1）的表達(dá)式（m∈N）．
（2）先由題設(shè)條件把f（m，n）轉(zhuǎn)化為f（m，1）+3（n-1），從而得到其結(jié)果．
（3）由f（7，7）=3⁶+18=747＜2006，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2006，知f（n，n）輸出結(jié)果不可能為2006．

解答：解：（1）f（m，1）=3f（m-1，1）=3²f（m-2，1）═3^m-1f（1，1）=3^m-1，
（2），f（m，n）=f（m，n-1）+3=f（m，n-2）+3×2═f（m，1）+3（n-1）=3^m-1+3（n-1），
（3）f（n，n）=3^n-1+3（n-1），∵f（7，7）=3⁶+18=747＜2006，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2006，
∴f（n，n）輸出結(jié)果不可能為：2006．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，題目比較新穎，解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是認(rèn)真審題，真正地理解題意．