Question

已知tanβ=

4

3

，sin（α+β）=

5

13

，且α，β∈（0，π），則sinα的值為

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：求得sinβ和cosβ的值，根據(jù)已知條件判斷出α+β的范圍，進(jìn)而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的兩角和公式求得答案．

解答： 解：∵α，β∈（0，π），tanβ=

4

3

，sin（α+β）=

5

13

，
∴sinβ=

4

5

，cosβ=

3

5

，0＜β＜

π

2

，
∴0＜α+β＜

3π

2

，
∵0＜sin（α+β）=

5

13

＜

1

2

，
∴0＜α+β＜

π

6

，或

5π

6

＜α+β＜π，
∵tanβ=

4

3

＞1，
∴

π

2

＞β＞

π

4

，
∴

5π

6

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

12

13

，
∴sinα=sin（α+β-β）=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

63

65

．
故答案為：

63

65

．

點評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)．解題過程中判斷出α+β的范圍是解題的最重要的一步．