Question

已知f（x）=3x²-5x-11．
①求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸方程；
②證明x∈[1，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增；

Answer 1

分析：①利用配方法將函數(shù)解析式變形，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程；
②根據(jù)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值、作差、變形、判斷符號和下結(jié)論，變形時利用平方差公式．

解答：解：①f（x）=3x²-5x-11=3(x-

5

6

)2-3×

25

36

-11=3(x-

5

6

)2-

157

12

，
則二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（

5

6

，-

157

12

），對稱軸方程是x=

5

6

．
證明：②設(shè)x₁＞x₂≥1，
則f（x₁）-f（x₂）=3x₁²-5x₁-11-（3x₂²-5x₂-11）=3（x₁²-x₂²）-5（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）[3（x₁+x₂）-5]
∵x₁＞x₂≥1，∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂＞2，則3（x₁+x₂）-5＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，一般利用配方法對函數(shù)解析式進(jìn)行變形，只要證明函數(shù)的單調(diào)性必須用定義法證明．