Question

【題目】已知數(shù)列an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1=1，a2=2，且點(diǎn)（Sn ， Sn+1）在直線y=tx+1上．
（1）求Sn及an；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn= （n≥2），b1=1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 求證：當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得Sn+1=tSn+1，令n=1有，S2=tS1+1，

∴a1+a2=ta1+1．代入a1=1，a2=2有t=2．

∴Sn+1=2Sn+1，則Sn=2Sn﹣1+1（n≥2）．

兩式相減有，an+1=2an，即 ，且 符合．

∴{an}為公比為2的等比數(shù)列．

則 ，

（2）證明：bn= = ＜ ．

∴當(dāng)n≥2時(shí)，

Tn=b1+b2+…+bn =

【解析】（1）把點(diǎn)（Sn ， Sn+1）代入直線y=tx+1，結(jié)合a1=1，a2=2求得t，可得數(shù)列遞推式，進(jìn)一步可得{an}為公比為2的等比數(shù)列．再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求得Sn及an；（2）把a(bǔ)n代入bn= ，放縮可得 （n≥2），代入Tn=b1+b2+…+bn ， 由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和證得當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＜2．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．