Question

已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．　　　

（1）求圓的方程；

（2）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3） 在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以 ，即．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811101212124678/SYS201209081110393851534348_DA.files/image007.png">為整數(shù)，故．

故所求圓的方程為． …………………………………4分

（Ⅱ）把直線即．代入圓的方程，消去整理，得

．

由于直線交圓于兩點(diǎn)，故．

即，由于，解得．

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．………………………………………8分

（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于，則直線的斜率為，

的方程為， 即．

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以，解得．由于，

故存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦．……………12分

【解析】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，一元二次方程根的判別式與解的關(guān)系，一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是：當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑；將直線與圓的方程聯(lián)立消去y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的個(gè)數(shù)決定了直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)（1）設(shè)圓心M的坐標(biāo)為（m，0），且m是整數(shù)，由圓C與已知直線垂直，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，進(jìn)而確定出圓C的方程；

（2）由直線ax-y+5=0，表示出y，代入圓的方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

（3）假設(shè)存在利用推理得到結(jié)論。