Question

已知M是所有同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）的集合：
①函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；
②在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．請(qǐng)解答以下問題
（1）判斷函數(shù)g（x）=-x²（x∈[0，+∞））是否屬于集合M？若是，請(qǐng)求出相應(yīng)的區(qū)間[a，b]；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）證明函數(shù)f（x）=3log₂x屬于集合M；
（3）若函數(shù)f（x）=

mx

1+|x|

屬于集合M，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義推導(dǎo)函數(shù)是否單調(diào)，然后假設(shè)滿足條件②，利用單調(diào)性求最值，進(jìn)行推導(dǎo)；（2）先單調(diào)性可以利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，然后數(shù)形結(jié)合，利用根的存在性定理說(shuō)明存在性；（3）函數(shù)在定義域R上連續(xù)，利用函數(shù)的性質(zhì)證明單調(diào)，然后假設(shè)屬于M，求m范圍．

解答： 解：（1）設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂則
g（x₁）-g（x₂）=-x

2 1

+x

2 2

=（x₂+x₁）（x₂-x₁），
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
∴（x₂+x₁）（x₂-x₁）＞0，
即g（x₁）-g（x₂）＞0，
g（x₁）＞g（x₂），
函數(shù)g（x）=-x²（x∈[0，+∞））在其定義域上是單調(diào)遞減，滿足①；
假設(shè)函數(shù)g（x）∈M，則存在區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
又由①可知函數(shù)g（x）=-x²（x∈[0，+∞））在其定義域上是單調(diào)遞減，
則函數(shù)g（x）在其[a，b]上是單調(diào)遞減，
得

-a2=b -b2=a b＞a≥0

滿足條件的解不存在，
則假設(shè)不成立，函數(shù)g（x）=-x²（x∈[0，+∞））不屬于集合M．
（2）證明：函數(shù)f（x）=3log₂x定義域?yàn)閧x|x＞0}，
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂則
f（x₁）-f（x₂）=3log₂x₁-3log₂x₂=3log₂

x1

x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴

x1

x2

＜1，
∴3log₂

x1

x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
函數(shù)f（x）=3log₂x在其定義域上是單調(diào)遞增．
假設(shè)f（x）∈M，在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b，
則

3log2a=a 3log2b=b

，令g（x）=2 

x

3

-x，則有g(shù)（1）＞0，g（3）＜0，g（9）＜0，g（12）＞0，如右圖

存在1＜a＜3，9＜b＜12，使得g（a）=0，g（b）=0，
也就是函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b
綜上，函數(shù)f（x）=3log₂x屬于集合M得證．
（3）m=0時(shí)，函數(shù)f（x）=0，不屬于M，則m≠0
f（x）的定義域?yàn)镽，函數(shù)f（x）=

mx

1+|x|

=

m 1 x +1 ，x＞0 0 ，x=0 m 1 x -1 ，x＜0

當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）分別在（-∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞增，且?x＜0，f（x）＜0，?x＞0，f（x）＞0，則f（x）在R上單調(diào)遞增，
同理可證當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)在定義域上為單調(diào)函數(shù)．
若函數(shù)f（x）=

mx

1+|x|

屬于集合M，
則在函數(shù)f（x）的定義域R內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
即方程數(shù)

mx

1+|x|

=x有兩個(gè)不等實(shí)根，也就是x≠0且

m

1+|x|

=1，則m=1+|x|＞1
綜上，m＞1

點(diǎn)評(píng)：本題新定義題，注意條件的使用，在（2）中轉(zhuǎn)化為函數(shù)后，使用根的存在性定理判斷，降低計(jì)算難度．