Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)

m

=（1.1），

n

（-cosA，sinA），記f（A）=

m

•

n

．
（1）求f（A）的取值范圍
（2）若

m

與

n

的夾角為

π

3

，C=

π

3

，c=

6

，求b的值．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）利用平面向量數(shù)量積運算法則列出f（A），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍確定出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（A）的范圍即可；
（2）利用平面向量數(shù)量積運算求出

m

•

n

的值，確定出f（A）的值，進而求出A的度數(shù)，由C的度數(shù)求出B的度數(shù)，再由c，sinC，以及sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答： 解：（1）∵

m

=（1，1），

n

（-cosA，sinA），
∴f（A）=

m

•

n

=-cosA+sinA=

2

sin（A-

π

4

），
∵0＜A＜π，∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

，
∴-

2

2

＜sin（A-

π

4

）≤1，
則f（A）的取值范圍為（-1，

2

]；
（2）∵

m

與

n

的夾角為

π

3

，
∴

m

•

n

=|

m

|×|

n

|×cos

π

3

=

2

×1×

1

2

=

2

2

，即-cosA+sinA=

2

sin（A-

π

4

）=

2

2

，
∴sin（A-

π

4

）=

1

2

，
∴A-

π

4

=

π

6

或A-

π

4

=

5π

6

（舍去），
解得：A=

5π

12

，
∵C=

π

3

，∴B=

π

4

，
由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

，即

6

sin π 3

=

b

sin π 4

，
解得：b=2．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．