Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時(shí)， ，

由于f（x）≥2，

則①當(dāng)x＜1時(shí)，﹣2x+3≥2，∴x≤ ；

②當(dāng)1≤x≤1時(shí)，1≥2，無解；

③當(dāng)x＞2時(shí)，2x﹣3≥2，∴x≥ ．

綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為：（﹣∞， ]∪[ ，+∞）

（2）解：令F（x）=f（x）+|x﹣1|，則 ，

所以當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F（1）=a﹣1，

只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）

【解析】（1）通過分類討論，去掉絕對(duì)值函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可求得不等式f（x）≥2的解集；（2）通過分類討論，去掉絕對(duì)值函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在R上先減后增，
得到函數(shù)的最小值為f（1）+|1﹣1|=f（1）=a﹣1，而不等式f（x）+|x﹣1|≥1解集為R即a﹣1≥1恒成立，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值，以及對(duì)絕對(duì)值不等式的解法的理解，了解含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．