Question

在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，E、F分別在邊BC、CD上，且四邊形PECF為矩形，用向量方法證明：
（1）PA=EF；
（2）PA⊥EF．

Answer 1

分析：（1）以B為原點(diǎn)、BC為x軸建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，且BE=x，可得A、B、E、F、P各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到

AP

、

EF

的坐標(biāo)，得到|

AP

|=

2x2-2x+1

且|

EF

|=

2x2-2x+1

，因此得到PA=EF；
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)，算出

AP

、

EF

的數(shù)量積為0，從而得到

AP

⊥

EF

，即AP⊥EF．

解答：解：以B為原點(diǎn)、BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，且BE=x，可得B（0，0），E（x，0），F(xiàn)（1，x），
P（x，x），A（0，1）…2′
可得

AP

=(x，x-1)，

EF

=(1-x，x)
（1）根據(jù)向量模的公式，得|

AP

|=

x2+(x-1)2

=

2x2-2x+1

，|

EF

|=

(1-x)2+x2

=

2x2-2x+1

∴|

AP

|=|

EF

|，即AP=EF…6′
（2）∵

AP

=(x，x-1)，

EF

=(1-x，x)
∴

AP

•

EF

=x(1-x)+(x-1)x=0
可得

AP

⊥

EF

，即AP⊥EF…10′

點(diǎn)評(píng)：本題在正方形ABCD中，證明線面線段AP與RF垂直且相等，著重考查了正方形的性質(zhì)和利用向量知識(shí)證明平面幾何結(jié)論的方法，屬于中檔題．