Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P（x₀，y₀）是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)S(0，-

1

3

)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用|OP|的值求得x₀和y₀的關(guān)系式，同時(shí)利用

PF1

•

PF2

=

3

4

求得x₀和y₀的另一關(guān)系式，進(jìn)而求得c，通過橢圓的離心率求得a，最后利用a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則可利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則可表示出

MA

和

MB

，利用

MA

和

MB

=0求得m的值．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則由|OP|=

7

2

得

x

2 0

+

y

2 0

=

7

4

；
由

PF1

•

PF2

=

3

4

得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

，
即

x

2 0

+

y

2 0

-c2=

3

4

．
所以c=1
又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

c

a

=

2

2

，所以a2=2，b2=1．
因此所求橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1．
（2）動(dòng)直線l的方程為：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

．
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則

MA

=(x1，y1-m)，

MB

=(x2，y2-m)．

MA

•

MB

=x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2
=x1x2+(kx1-

1

3

)(kx2-

1

3

)-m(kx1-

1

3

+kx2-

1

3

)+m2
=(k2+1)x1x2-k(

1

3

+m)(x1+x2)+m2+

2

3

m+

1

9

=-

16(k2+1)

9(2k2+1)

-k(

1

3

+m)

4k

3(2k2+1)

+m2+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

由假設(shè)得對(duì)于任意的k∈R•

MA

•

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0 9m2+6m-15=0

解得m=1．
因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生分析問題和推理的能力．