如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD點F是棱PD的中點,點E為CD的中點.
(1)證明:EF∥平面PAC;
(2)證明:PE⊥AF;
(3)求二面角B-PC-D的大�。�

【答案】分析:(1)證明EF∥平面PAC,可直接利用三角形的中位線定理得到EF∥PC,然后由線面平行的判定定理得結(jié)論;
(2)要證PE⊥AF,因為PE?面PCD,可證AF⊥面PCD,由已知底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,易得AF⊥CD,再由PA=AD,點F是棱PD的中點得到AF⊥PD,則問題得證;
(3)由圖形的對稱性可知△PBC≌△PDC,在直角三角形PBC中,過直角頂點B作斜邊PC的垂線,再連結(jié)D與垂足,即可得到二面角B-PC-D的平面角,解直角三角形求出邊后利用余弦定理可求二面角的大�。�
解答:(1)證明:如圖,
∵點E,F(xiàn)分別為CD,PD的中點,∴EF∥PC.
∵PC?平面PAC,EF?平面PAC,
∴EF∥平面PAC.
(2)證明:∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD
又ABCD是矩形,∴CD⊥AD,
∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
∵AF?平面PAD,∴AF⊥CD.
∵PA=AD,點F是PD的中點,∴AF⊥PD.
又CD∩PD=D,∴AF⊥平面PDC.
∵PE?平面PDC,∴PE⊥AF.
(3)解:過點B作BH⊥PC于H,連接DH
∵△PBC≌△PDC,∴DH⊥PC
∴∠BHD是二面角B-PC-D的二面角.
設(shè)PA=AD=1,在△BHD中,BH=DH=,BD=
∴cos∠BHD==-,∠BHD=120°
∴二面角B-PC-D的大小為120°.
點評:本題考查了線面平行的判定,考查了由線面垂直得線線垂直,考查了二面角的平面角的求解方法,解答此題的關(guān)鍵是尋找二面角的平面角,綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力,是中檔題.
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
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(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
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(2)求A到面PCD的距離.

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